Заметим, что в правой части равенства — сумма кубов.
Она выражется формулой:
y^3 + 1=(y+1)(y^2-y+1)
То есть правая часть раскладывается на множители.
А раз левая часть делится только на множители вида p^k, значит и каждый из множителей правой части делится только на аналогичные числа.
1) В простейшем случае одна из скобок справа будет равна 1. Очевидно, что вторая (тк y+1 не меньше 2х)
Отсюда получаем, что y^2-y+1=1
То есть y=1. p^x=2, откуда и p=2, x=1.
Теперь нетривиальный случай.
2)
Раз каждая скобка делится на множители вида p^k, то их частное будет иметь точно такой же вид — p в некоей степени.
В связи с этим можем написать:
y^2-y+1=m(y+1), где за m обозначили p в некоей степени, не большей x, и предположили, что вторая скобка заведомо не меньше первой (легко убедиться, решив неравенство y^2-y+1>=y+1, что оно верно для y>=2. а y=1 мы уже рассмотрели)
Собственно, ответ получен, осталось выбрать из него натуральные числа.
Раз все натуральны — дискриминант полный квадрат.
То естьD=(m+3)^2 — 12=n^2
(m+3)^2 =12+n^2
Или, используя формулу разности квадратов:
(m+3)^2-n^2 = (m+3+n)(m+3-n)=12. m и n — натуральные, то есть не меньше 1 (очевидно из предыдущих равенств). Значит первая скобка не меньше 5, и равна 6 или 12.
Отсюда получаем 2 случая:
1)m+n+3=6
m-n+3=2
2)m+n+3=12
m-n+3=1
Из первого m=1, n=2
Второй не имеет натуральных решений.
То есть Дискриминант равен n^2=4
Откуда, возвращаясь к решению уравнения (1) y=(m+1+_n)/2 = (2+_2)/2. y=2 или 0.
0 нам не подходит, тк y натуральное.
Для y=2, p^x=9. Очевидно, p=3, как единственный простой множитель числа 9, тогда x=2
Окончательный Ответ: p=2, x=y=1 p=3, x=y=2
Добрый день. Меня заинтересовал ваш ответ "Заметим, что в правой части равенства — сумма кубов.
Она выражется формулой:
y^3 + 1=(y+1)(y^2..." на вопрос http://www.liveexpert.org/topic/view/430751-olimpiada. Можно с вами обсудить этот ответ?