Высота правильной треугольной пирамиды равно...

Высота правильной треугольной пирамиды равно a sqrt 3 радиус окружности описанной около ее основания 2a. Найти: а)апофему пирамиды б)угол между боковой гранью и основанием в)площадь боковой поверхности

Ответы

Пусть АВС — основание, т.е. правильный треуг-к, т.О — центр описанной окр-сти возле треуг-ка,  МО — высота пирамиды, МК — апофема пирамиды.

а) Рассмотрим треуг-к МОВ — он прямоуг-ный, с прямым углом О, тогда по теореме Пифагора можно найти боковую сторону пирамиды:

МВ^2 = МО^2+ОВ^2 (где ^2 — это возведение в квадрат).

Т.к. треуг АВС — правильный, то радиусы вписанной и описанной окружности определятся по формуле:

R = a/V3, (где V — корень квадратный) и соотв-но: r = a/(2V3), (где V — корень квадратный).

Рассмотрим треуг-к МОК — он тоже прямоуг-ный, в нем ОК — радиус вписанной окр-сти, ОМ — высота пирамиды, МК — апофема.

Из формулы радиуса описанной окр-сти найдем сторону а или по условию у нас АВ=ВС=АС

АВ= RV3 = 2аV3, значит, радиус вписанной окр-сти равен:

ОК = 2аV3/2V3 = а.Осталось в данном треуг-ке найти апофему МК по теореме Пифагора:

МК^2 = МО^2+ОК^2

МК =V(3а^2+а^2) =2а — апофема пирамиды.

б) Угол между боковой гранью и основанием это угол МКО в рассмотренном выше треуг-ке. Используя определение синуса угла, можно записать:

Sin МКО = МО/МК, Sin МКО = аV3/2а = V3/2, следовательно,

уг МКО = arcsin(V3/2) = 60 град — угол между боковой гранью и основанием.

в) Площадь боковой поверхности (S(бок)) определится как сумма трех площадей треугольников боковых граней, а т.к. пирамида правильная, то эти площади между собой равны, т.е.

S(бок) = 3*S(треуг СМВ)

S(СМВ) = ВС*МК/2,

S(СМВ) = 2аV3 * 2а/2 = 2(а^2) *V3,

S(бок) = 3*2(а^2) *V3 = 6(а^2) *V3площадь боковой поверхности пирамиды.

Не забывайте благодарить экспертов выбором лучшего ответа. Удачи!

 

 

04.06.13

Елена Васильевна

Сейчас на сайте
Читать ответы

Александр

Сейчас на сайте
Читать ответы

Владимир

Сейчас на сайте
Читать ответы
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика