Высота правильной треугольной пирамиды равно...

Высота правильной треугольной пирамиды равно a sqrt 3 радиус окружности описанной около ее основания 2a. Найти: а)апофему пирамиды б)угол между боковой гранью и основанием в)площадь боковой поверхности

Ответы

Пусть АВС — основание, т.е. правильный треуг-к, т.О — центр описанной окр-сти возле треуг-ка,  МО — высота пирамиды, МК — апофема пирамиды.

а) Рассмотрим треуг-к МОВ — он прямоуг-ный, с прямым углом О, тогда по теореме Пифагора можно найти боковую сторону пирамиды:

МВ^2 = МО^2+ОВ^2 (где ^2 — это возведение в квадрат).

Т.к. треуг АВС — правильный, то радиусы вписанной и описанной окружности определятся по формуле:

R = a/V3, (где V — корень квадратный) и соотв-но: r = a/(2V3), (где V — корень квадратный).

Рассмотрим треуг-к МОК — он тоже прямоуг-ный, в нем ОК — радиус вписанной окр-сти, ОМ — высота пирамиды, МК — апофема.

Из формулы радиуса описанной окр-сти найдем сторону а или по условию у нас АВ=ВС=АС

АВ= RV3 = 2аV3, значит, радиус вписанной окр-сти равен:

ОК = 2аV3/2V3 = а.Осталось в данном треуг-ке найти апофему МК по теореме Пифагора:

МК^2 = МО^2+ОК^2

МК =V(3а^2+а^2) =2а — апофема пирамиды.

б) Угол между боковой гранью и основанием это угол МКО в рассмотренном выше треуг-ке. Используя определение синуса угла, можно записать:

Sin МКО = МО/МК, Sin МКО = аV3/2а = V3/2, следовательно,

уг МКО = arcsin(V3/2) = 60 град — угол между боковой гранью и основанием.

в) Площадь боковой поверхности (S(бок)) определится как сумма трех площадей треугольников боковых граней, а т.к. пирамида правильная, то эти площади между собой равны, т.е.

S(бок) = 3*S(треуг СМВ)

S(СМВ) = ВС*МК/2,

S(СМВ) = 2аV3 * 2а/2 = 2(а^2) *V3,

S(бок) = 3*2(а^2) *V3 = 6(а^2) *V3площадь боковой поверхности пирамиды.

Не забывайте благодарить экспертов выбором лучшего ответа. Удачи!

 

 

04.06.13
Рекомендуем личную консультацию

Михаил Александров

Сейчас на сайте
Помогу подготовиться к работам и экзаменам (ЕГЭ, ГИА), сделать домашние задания, в том числе и вузовский курс (кроме теории вероятности и статистики), проконсультирую и настрою на систему обучения
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика