Найти общее и частное решение y''xlnx=y'; y(e)=e-1, y'(e)=1 - вопрос №1935366

Т.к. уравнение не содержит переменной y, то оно допускает понижение порядка путем введения замены
y' = z(x)
y'' = z'(x)
Подставляем замену в уравнение:
z' * x lnx = z
Это уравнение с разделяющимися переменными
dz / z = dx / (x lnx)
Интегрируя обе части, получаем:
ln(z) = ln (C ln (x))
Отсюда
z = C lnx

Возвращаемся к замене переменных
dy /dx = C lnx
y(x) = C * интеграл lnx dx
Интеграл берем по частям: 
U = lnx
dU = dx/x
dV = dx
V = x

y(x) = C * интеграл lnx dx = C * (x lnx — интеграл dx) = Cx (lnx — 1) + C1  - общее решение

Для нахождения частного решения определяем С и С1
y(e) = C * e * (ln e — 1) + C1 = C1 = e — 1
Отсюда С1 = e + 1
y'(x) = C(lnx — 1) + C
y'(e) = C(ln e — 1) + C = C = 1
Таким образом, частное решение:
y(x) = x(lnx — 1) + e — 1


Не забывайте оценивать ответы!